무리함수 그래프와 성질 알아볼까?

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2016. 8. 28. 17:59

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Intro                                     

저번시간에 유리식과 유리함수를 배웠죠? 오늘은 무리함수를 볼 차례인데요. 무리식에 대해서는 크게 배울게 없어서 무리식 내용은 건너뛰고 왔어요. 무리수에 대한 기본적인 개념은 중3 때, 루트 안이 음수인 허수에 대한 내용은 수1의 복소수에서 다 하고 왔으니까요~ 무리함수로 바로 들어가려 하는데요. 일단 먼저 하나 알아둘 것, 고등학교 과정은 함수를 실수의 범위에서만 다룬답니다. 즉, 허수의 범위는 생각하지 않아요. 그럼 오늘 배우게 될 무리식에서 루트 안이 0보다 작은 수가 올 수 없다는 것을 당연하게 생각하고 갈 수 있겠죠? 본격적으로 한번 들어가보죠!

목차                                      

4. 그래프 그리는 팁
5. 역함수의 그래프

자, 무리함수의 첫 이야기로 들어가볼까요? 일단 먼저 무리함수가 뭔지부터 알아야하죠? 이름이 무리함수이니까 y=(무리식)꼴이 무리함수일텐데요. 여기서 무리식은 '루트 안에 문자가 있는 식'을 무리식이라고 한답니다. 그럼 무리식을 구분해볼까요?

여기서 무리식를 골라볼까요? 정답은 바로..
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2번, 3번, 4번이에요. 1번은 루트가 보이지만 루트안에 문자가 있지 않죠? 일차식이고 단지 일차항의 계수가 무리수일 뿐이에요. 2번은 문자가 루트 안에 있고, 3번도 마찬가지, 4번은 저번 시간의 유리식 개념과 헷갈릴텐데, 이도 무리식이라 한답니다.

그럼 새로운 함수를 배우게 되니 역시 정의역을 먼저 생각을 하고 가야겠죠? 위에서 살짝 말하고 왔지만 루트 안에는 0이상의 수만 와야한답니다. 바로 그게 정의역이 되는거죠. 무리함수의 함수의 정의역에 대해 한번 생각해보고 넘어갈까요?

첫번째는 쉽게 구할 수 있겠네요. x≥-1이 되겠죠? 두번째는 루트 안에 이차식이 있는데, 당황하지 말고 루트 안의 식 자체가 0 이상이라는 식을 세우고 x의 범위를 찾으면 돼요. 즉, 1-x²≥0이니, x²-1≤0이 되고, 인수분해 하여 풀면 -1≤x≤1이 되겠죠? 세번째는 이차함수인데, 저 식의 최솟값이 2이니, 어떤 값을 x에 넣어도 돼요. 즉, 세번째 무리함수식의 정의역은 모든 실수가 되는거랍니다. 이해 되시죠?

그럼 이제 본격적으로 그래프에 대해서 생각 해볼텐데요~ 역시 그래프를 처음 그릴 때는 뭐든지 일일이 대입해보고 개형을 생각해보는거에요.

이렇게 값을 대입해보고 예측을 해보면, x가 많이 커져야 y가 조금씩 커진다는 것 이해 되시죠? 그리고 x가 커지면 커질수록 나중에 y가 커질 수 있는양이 적어진답니다. x가 1, 4, 9, 16, 25 이런식으로 되어야 y가 1, 2, 3, 4, 5가 된다는 것 이해 되죠?

제곱근이 제곱의 반대이다보니, x와 y의 관계가 바뀌어서 나타난답니다. 이 말은 즉, 무리함수의 역함수는 이차함수라는 것 알겠죠? 이 부분은 나중에 자세히 다룰께요~ 어쨋든, 이렇게 점점 더디게 증가하는 그래프, 이차함수와 역함수 관계에 있는 무리함수는 바로 이렇게 생겼어요!

이차함수의 반쪽이 옆으로 누운 함수라는 것 알겠죠? 역함수에 대한 이야기는 나중에 다시 하도록 하고, 무리함수에 대한 이야기를 조금 더 하도록 할께요!

치역은 어떻나요? 루트의 특성상, 루트가 절대 음수가 될 수는 없답니다. 왜냐면 제곱하여 xx가 되는 수 중에 양수를 루트로 사용하고 되니까요, 제곱하여 xx가 되는 수 중에 음수는 마이너스를 붙여서 루트를 사용하죠? 그러니 정의역도 0 이상, 치역도 0 이상이니 (0, 0)을 제외하면 1사분면에 그래프가 그려진다는 것을 알 수가 있어요~

그럼 이번엔, x앞에 수가 붙으면 어떻게 될까요? 한 번은 루트 안의 x의 계수를 바꿔보고, 한 번은 루트 밖의 수를 바꿔보도록 할께요~ 루트 안에 수가 붙는 것과 루트 밖에 수가 붙는게 뭐가 다르냐? 루트x에 수가 붙었으니, 분명 y값에 변화가 있을꺼에요. 그런데 그것 이상으로 중요한게, 계수 자리에 음수가 붙으면 어떻게 되냐는거거든요. 음수가 붙는걸 제외하면 사실 수가 루트 안에 붙는 밖에 붙든 크게 차이가 나지는 않는답니다. 예를 들어, 2x와 √2x는 다른 식이죠? 하지만 √4x와 2√x는 같은 식이라는 것 알겠죠? 루트4x에서 루트4가 루트 밖으로 빠져나오면 2가 될테니까요. 그럼 x앞의 수가 바뀌어서 그래프가 어떻게 바뀌는지 한번 동영상으로 볼까요?

일단 루트 안의 x에 계수가 있는 모양부터 볼까요? 양수일 때는 그래프가 1사분면에서 위아래로 움직이죠? a가 커질수록 그래프가 전체적으로 위로 올라간다는 것을 알 수가 있어요. 물론 평행이동은 아니고, (0, 0)은 그대로인체 다른 점들이 올라가는거죠. 하지만 음수일 때는? 그래프가 왼쪽으로 가버리네요! 왜일까요?바로 정의역 때문이에요. 만약 a값이 -2라면? 즉, 루트 안이 -2x이고, 여기서 루트 안이 0이상이 되어야 하기에 -2x≥0, 정리하면 x≤0이 정의역이 된답니다. 또는 평행이동으로도 설명을 해볼까요? a가 음수가 되었다는 것은 a가 양수인 것에 대해 x의 부호가 바꼈다는 것이죠. 즉, 그래프가 y축 대칭이라는 걸 알 수가 있어요. 평행이동과 대칭이동은 수1에서 배웠죠?


다음은, 이번엔 루트 밖에 수가 붙어있는 경우인데요.

방금은 그래프의 움직임이 다르죠? 아무래도 a가 루트 밖에 있다보니, a가 같은 양이 변해도 위의 경우인 루트 안에 a가 있는 경우보다 그래프가 휙휙 빨리 변해요~ 하지만 이것보다 중요한건, a가 음수인 경우에 이번엔 그래프가 왼쪽에 생기지 않고 아래로 생기게 되네요. 왜일까요? 당연히 루트가 있는 식은 양수인데 그 전체 값에 대해 마이너스가 붙었으니까요! 즉, 루트 안에 마이너스가 붙었다는 말은, 마이너스부호를 이항하면 -y=루트x 모양이 되겠네요. 즉, x축에 대해 대칭이동을 하게 된다는 의미에요. 이해 되시죠?

정리해볼까요?

이렇게 정리할 수 있겠죠? 루트 안의 부호에 따라, 그리고 루트 밖의 부호에 따라 그래프가 어떻게 되는지 잘 고민하고 넘어가길 바래요~

이번엔 평행이동을 해보죠. 유리함수에서도 이야기 했지만, x대신에 x-p, y대신에 y-q가 대입이 되어있는 식은, 기존의 y=f(x)에 대해 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동 한 그래프라는거 잘 알죠?

그러니 이렇게 정리가 될꺼에요. 루트 안의 식이 x대신 x-p가 들어갔죠? 그렇다는건 이번엔 x≥0가 아니라 x-p≥0이어야 하니, x≥p가 정의역이 될 것이고, 기존의 루트만 있는 식의 치역이 y≥0 이었으니, 루트에다가 q가 더해졌다면 y≥q가 치역이 되겠죠? 그리고 시작점이었던 (0, 0)은 (p,q)로 이동하게 될꺼에요~

마지막으로 y=(ax+b)+c는 ax+b 부분은 a로 묶어내면 위의 경우와 똑같이 해석할 수 있겠죠? 이 부분은 유리함수 때도 똑같이 했으니 이해하기 크게 어렵지 않겠죠?

4. 그래프 그리는 팁               

분수함수를 그릴 때는 그래프를 그리는 팁이 점근선을 이용하는 것이었죠? 그럼 무리함수는 그래프의 특징이 뭘까요? 무리함수의 그래프는 이차함수의 역함수라고 했잖아요? 그러니 이차함수와 특징이 비슷할텐데요. 이차함수는 꼭지점이 그래프 그리는데 있어서 중요한 역할이었어요. 그렇다면 무리함수는? 바로 시작점이 그래프를 그리는데 중요한 포인트가 되겠죠. 그래서 시작점만 찍어놓으면 4가지 중에 하나를 선택하면 돼요. (오른쪽 위), (오른쪽 아래), (왼쪽 위), (왼쪽 아래) 이렇게 4가지 방향으로 그래프가 뻗을 수 있잖아요? 그럼 오른쪽이냐 왼쪽이냐는 루트 안의 부호 때문에 결정이 되고, 위냐 아래냐는 루트 밖에 붙어있는 부호 때문에 결정이 되죠. 그래서 이 두가지를 파악 한 후 그래프를 뻗어가게 할 방향을 알아내어서 그리면 된답니다.

그럼 하나 질문! 유리함수는 그래프가 점점 더디게 변화하다가 어느 이상 또는 이하로는 값이 변하지 않는 점근선이라는게 있었는데요. 그럼 무리함수도 점점 더디게 변화하니 점근선이라는 개념이 있을까요? 정답은

점점 더뎌지는 것은 맞지만, 어떤 값에 가까워지는게 아니니까요~ 또는 이차함수를 반대로 생각해도 점근선이라는 건 없을 것이란 걸 직감적으로 알 수 있을꺼에요~ 그래프 그리는 문제와 아래의 역함수의 그래프 그리는 문제를 나중에 한꺼번에 보도록 할께요~

5. 역함수의 그래프               

마지막 내용이에요. 무리함수를 이차함수와 연관지어서 생각을 해볼텐데요. 이 둘은 역함수 관계라 하였죠? 혹시 역함수 개념이 기억이 안나면 역함수는 꼭 공부하고 와서 봐야해요~

그럼 들어가볼까요? 두가지로 생각해볼텐데요. 하나는 무리함수 입장에서 역함수를 생각해볼 것이고, 다른 하나는 이차함수 입장에서 역함수를 생각 할 꺼에요. 여기서 역함수는 정의역과 치역이 바뀐다는 것 아시죠? 그렇기 때문에 일대일 대응이어야만 역함수가 존재한다는 이야기 까지 했었죠. 일단 무리함수의 그래프부터 그리고, 역함수의 글래프도 생각해볼까요?

이렇게 정의역과 치역을 충실하게 생각해서 그리는 연습을 먼저 해야해요. 그 다음에 조금 익숙해진다면, 역함수의 특징을 이용해서 y=x와 대칭인 특징을 이용한다면 조금 더 쉽게 그릴 수 있을꺼에요!

바로 이렇게 말이죠~ 원래의 무리함수를 그리고, 꼭지점과 곡선의 방향을 생각한 후, y=x에 대칭이동을 하면 어떻게 되는지 금방 알 수 있을꺼에요!

무리함수를 이차함수로 바꿔봤는데요. 그럼 반대로 이차함수를 무리함수로 바꾸는 경우에는 어떻게 생각해야할까요? 이차함수는 기본적으로 일대일 대응이 아니죠? 그렇기 때문에 이차함수에서 정의역을 모든실수로 잡아버리면, 역함수가 존재하지 않아요. 정의역을 모든실수로 잡아버리면, 2개의 x값에 대해 하나의 y값에 대응이 되잖아요? 그러니, 정의역을 제한을 해줘야하는데요. 어떻게 제한할 것인가? 그건 간단해요. 왜냐? 일대일 대응이 안되는게 문제여서 정의역을 제한하겠다고 했으니 이차함수 그래프의 특징을 생각해서 꼭지점을 기준으로 반만 잘라주면 되는거죠!

이렇게 말이에요~ 이차함수를 꼭지점을 기준으로 반을 잘라서 옆으로 보면 무리함수가 두개가 나오죠. 예를 들어 y=x²을 반으로 자른 역함수를 생각해보면 하나는 y=x, 다른 하나는 y=-x가 될꺼에요~ 그러니, 꼭지점을 기준으로 정의역을 제한해주면 된답니다. 위 그래프의 경우에는 x≥1 경우 또는 x≤1인 경우 이렇게 두가지로 나눠서 생각할 수 있겠죠?

Outro                                   

이렇게 무리함수를 마무리 해봤는데요~ 이로써 문과에서 배우는 모든 종류의 함수를 다 배운거에요. 아 물론, 2학년 때 삼사차함수를 배우겠지만, 이는 다항함수 부류 안에 들어가니까요. ㅎㅎ 이과는... 아직 멀었으니 천천히 가보자구요 ㅎㅎ 보통 여기까지가 중간고사 범위이죠? 그 다음은 수열이라는 단원으로 만나볼텐데, 여기까지 준비 잘해서 좋은결과 있길 바래요~ 안녕!


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