Intro
도함수의 활용 마지막 단원, 속도와 가속도입니다. 이 글만 쓰면 미분이 끝이라니 마음이 좀 홀가분하네요 ㅋㅋㅋ 그 다음은 적분이라는 압박이 있겠지만.. 들어가볼께요. 중학교 때 거리, 속력, 시간에 대한 내용이 나왔죠? 속력은 시간 분의 거리. 라고 해서 배웠구요. 이 내용과, 미분에 대한 연결만 잘 하면 된답니다. 속력에 대해 워낙 어려워했던 친구들은 이 내용을 어려워하더라구요. 그래서 그런 친구들도 이해를 할 수 있게 기본적인 내용부터 할테니. 잘 따라오기!
목차
1. 속도는 비율이다?
2. 속도 vs 속력, 변위 vs 이동거리?
3. 미분과 속도의 관계
1. 속도는 비율이다?
기본적인 이야기부터, 속도에 대해서 이해하고 가볼께요. 중학교 때 대부분 친구들이 속도는 시간분의 거리 이렇게 아무 생각없이 외우더라구요. 많이 안타까워요 ㅠㅠ 속도 공식을 보면 분수식인데요. 분수를 바라보는 시선은 항상 비율로 바라봐야합니다. 무슨 이야기냐구요? 초등학교 때 배웠던 내용이라 잘 기억이 안나죠? ㅋㅋ
비와 비율이라는 내용을 배웠던 것 기억 나나요? 두개의 양, 크기를 비교할 때, 'A가 B의 몇 배인가?'를 나타내고싶어서 쓰는 두가지 방법인데요. 예를 들어볼까요?
전체 학생이 400명인데, 파란색셔츠를 입은 학생이 100명이라고 하네요. 그럼 파란색셔츠를 입은 학생은, 전체 학생에 대한 비가 어떻게 될까요? 1:4가 된다는 것 알겠죠? 또한 이를 비율로 나타내면 ¼이 되겠군요. 즉, 1:4와 ¼같은 이야기에요. 여기서 생각할 부분은, 분수라고 하는건, 분자가 분모의 몇배냐? 라고 물어보는 것과 같다는 것을 알아야해요.
다른 예를 들어볼까요? 직선의 기울기가 3이라는 건 (y의 증가량)/(x의 증가량)=3이다. 즉 x의 증가량에 대한 y의 증가량의 비율이 3이다 라는걸 말하고싶은 것인거죠.
바로 이런 이야기! 반대로 기울기가 ⅓이라는 건, (x의 증가량)이 (y의 증가량)의 3배라는 것을 말하는거랍니다. 그런 의미로 속도가 시간분의 거리라고 하는건,
이렇게 된다는 것, 1시간에 3km로 일정하게 가면 저런 표가 그려질테고, 이런 상황을 속도가 3km/h라 하는거에요. 잘 아시겠죠?
2. 속도 vs 속력, 변위 vs 이동거리
두번째 알아둘 이야기는 속도와 속력의 차이, 변위와 이동거리의 차이인데요. 물리에서 나오는 이야기이긴 하지만, 간단하게 차이정도는 알아둬야 문제를 풀 수가 있어요.
못믿겠어도 사람이 운동하는 그림입니다. ㅋㅋ 길 아래에는 몇미터인지 표시해 둔 것이고, 파란색 1 2 3은 저 순서대로 왔다갔다 했다는 것을 나타낸 거에요. 처음엔 오른쪽으로 10미터, 다음은 왼쪽으로 7미터, 그 다음은 다시 오른쪽으로 4미터를 뛰었죠.
그럼 여기서 실제로 뛴 거리는 얼마나 되나요? 10 + 7 + 4 = 21, 21미터를 뛴거겠죠? 그럼 저 사람이 뛰기 전과 완전히 뛰고 난 다음을 비교 했을 때, 위치만 봤을 때는 얼마나 변해있나요? 마지막 위치가 7이니, 7미터만큼 변해있겠죠?
이게 이동거리와 변위의 차이인데요. 아. 변위는 위치의 변화량이라고도 합니다. 변(화량)위(치)인데 물리에서 변위라고 많이 불러요. 이동거리와 변위가 무슨 차이냐면, 이동거리는 움직인 방향을 생각하는게 아니라, 그냥 움직인 양 자체에만 주목을 하는 것이고, 변위는 움직인 방향도 고려해서 계산한다는 것이죠. 이걸 물리에서는 스칼라, 벡터라고 하는데 자세한 이야기는 다음에 듣도록 하고..(무책임)
이동거리와 변위를 구하는 방법을 이야기 하자면, 이동거리는 절댓값으로, 변위는 그냥 더하면 돼요. 무슨 이야기냐? 위에서 움직인걸 수치로 나타내면 1번 이동은 (+10), 2번 이동은 (-7), 3번 이동은 (+4)가 되겠죠? 여기서 방향을 생각해서 오른쪽을 +로, 왼쪽을 -로 잡은거에요.
그럼 이동거리를 계산할 때는, l+10l + l-7l + l+4l가 되는거에요. 즉, 이동한 거리는 모두 양수로 계산해야하기 때문에, 모두 플러스로 바꿔줄 수 있는 절댓값으로 계산을 해야하는 것이죠. 반면에 변위(위치의 변화량)을 구할 때는? 있는 그대로, (+10) + (-7) + (+4)로 계산을 해서 7이라 구해야 맞게 되는거에요.
이동거리와 변위의 차이를 알겠죠? 그럼, 속력과 속도의 차이는 뭐냐? 속력은 (이동거리)/(시간), 속도는 (변위)/(시간)이 되는거에요. 즉, 속력은 이동한 방향을 고려하지 않는 것이고, 속도는 이동한 방향을 고려하는 것이죠.
이 예시 다시 한번 생각해보죠.. 만약 1m를 가는데 1초가 걸렸다고 해봅시다. 그럼 속력은 어떻게 계산이 되냐? 이동거리가 21m이고, 21초동안 갔을테니, 속력은 1m/s가 된답니다. 하지만 속도를 구하라고 하면? 속도는 변위를 가지고 나눠야하니, 1/3 m/s가 되는거죠. 차이를 아시겠어요?
수학에서는, 사람이 움직이는 것 대신에 점이 움직였다고 표현하고, 그 점의 움직임을 좌표에다가 올리면 그래프가 바로 속도나 위치를 뜻하게 되는건데요. 그래프부터 해석을 할 줄 알아야겠네요.
세 개의 그림을 그려봤는데요. 첫번째 그래프는, x축이 시간, y축은 시간에 따른 위치의 변화를 나타낸 것, 두번째 그래프는 x축이 시간, y축은 1번 그래프의 움직임에 대한 속도, 3번 그림은 1번과 2번을 비교하기 위해 하나의 좌표에다가 그려본거에요.
아무래도 x축이 시간이니, y축 왼쪽은 생각하지 않는게 맞겠죠? 첫번째 그래프를 해석을 해볼까요? y축 오른쪽만 봐야해요~ 시간이 0일 때부터 시작해서 밑으로 내려가고 있네요? 그러다, 시간이 2초일 때 꺾어서 다시 올라가고 있고, 4초에는 다시 0을 지나 올라가고 있답니다. 이게 무슨 이야기일까요? 첫번째 그래프는 위치라고 했죠?
이런 움직임이 머리 속에 그려져야해요. 위치가 음수라는 건, 왼쪽에 있다는 것이고, 위치가 양수라는 건 오른쪽에 있다는 의미이니 그래프를 보면 2초까지는 내려가다가 2초가 지나면 다시 올라가는 그래프의 모양은 저 움직임과 일치한다는 것을 알 수 있겠죠. 그리고 4초는? 시간-위치 그래프에서 위치가 0이 되었다는 의미이니, 4초 때는 원점에 돌아온다는 이야기가 될꺼에요!
그럼 속도로 보면 어떨까요? 2초까지는 왼쪽으로 속도를 내고 있기 때문에, 속도가 음수일꺼에요. 왜냐면 속도는 (위치의 변화량)/(시간)이라 했고, 0초에서 2초까지는 위치의 변화가 계속 음수이니, 속도도 음수가 되는거겠죠? 그러다 2초인 순간은 이동방향을 바꾸는 것이니, 속도가 0이 되는 것이고, 2초가 지나면 양수가 되겠죠?
3. 미분과 속도의 관계
위에서 미분이라는 이야기를 다 떼고 위치의 변화와 속도에 대한 이야기를 했는데요. 이제 살짝 미분이라는 개념 살짝 올려놓아 보겠어요!
앞에서 미분 처음할 때 평균변화율과 순간변화율이라는 개념을 배웠죠? 평균변화율은 x의 구간을 길게 잡고 변화율을 구한 것이고, 순간변화율은 x의 구간을 한 순간으로 잡고 변화율을 구한 것이죠. 그럼 중학교 때 배웠던 속도는, 생각하면 평균속도라는 것을 알겠죠? 하지만, 지금 배울 내용은 순간속도에 대한 이야기인거에요. 차가 달리고 있는데, 사진 찍듯이 순간을 탁! 생각하면 그 순간의 속도가 있겠죠? 그것을 구하는게 순간속도인 것이죠. 즉, 위치가 시간에 대한 함수로 되어있으면, 그 위치를 시간에 대해 미분하면 속도가 나온다는 것이에요~ 여기서 위치를 시간에 대해 미분하면 왜 속도가 나오는가에 대한 이해가 갑자기 안된다면, 미분에 대한 지식이 아주아주아주 부족한 것이니, 미분계수부터 공부하고 오셔야겠네요!
똑같은 x²-4x가 있고, 하나는 두 점을잡고 직선을 그었고, 다른 하나는 접선을 그었죠? 첫번째 그림은, 시간이 1초부터 4초까지 변할 때 위치가 -3에서 0으로 변해서, 기울기가 1, 즉 속도가 1이 되는 것. 이건 중학교 때 배웠던 평균속도가 되는 것이에요. 지금 우리가 배울 내용은 순간적인 속도인거죠. 즉, 문제에서는 x=3초일 때 속도를 물어보는 상황이 있을 수 있고, 그 때의 속도는 f'(3)이 된다는 것이랍니다. 이해 되나요?
즉, 한 점 x의 시간에 대한 변화를 x=f(t)라고 놓으면 순간적인 속도는
이렇게 된다는 것이고, 즉, 위치를 시간에 대해 미분하면 속도가 나온다는거에요! 물론 위치의 도함수는 시간에 대한 함수가 될 것이고, 위치의 미분계수는 그 시간에서의 속도가 되겠죠? 그럼 문제를 한번 풀어볼께요!
참고로 가속도가 나왔는데, 가속도에 대해 짧게 이야기 한다면, 가속도의 가는 한자 加(더할 가)를 쓴, 즉 속도가 얼마나 증가하는가 감소하는가에 대한 걸 나타내는 가속도라 하고, 속도가 위치의 변화율인 것과 같이, 가속도는 시간에 대한 속도의 변화율이랍니다. 즉, 가속도가 양수면 속도가 증가, 가속도가 음수면 속도가 감소, 가속도가 0이면 속도가 변하지 않음을 뜻해요.
이런식으로 하면 돼요. 위치와 속도, 그리고 이동거리와 변위에 대한 내용만 잘 이해하고 있으면, 문제 풀이하는건 너무 쉬운 부분이라 잘 이해할 수 있을거라 생각해요!
진짜 다음 시간은 마지막이에요! 도형의 길이, 넓이, 부피의 변화율에 대한 내용만 하면, 진짜 미분은 끝일 것 같네요. 다음 내용은 이 내용의 연장선상에 있는 내용이에요. 그러니 한번에 공부하는게 좋아요. 오늘 내용은 위치가 시간에 대한 함수로 나와있기 때문에 시간에 대해 미분하면 속도가 나온다는 내용이었을 뿐, 다음 내용은 부피, 넓이, 길이의 시간에 대한 변화율을 구하는 내용이거든요. 그럼, 오늘은 이만!
