(공통)확률과통계

2강. (통계-2) 모집단과 표본평균

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2017. 1. 20. 16:09

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안녕하세요~ 너무 친절한 콩수학수리영역 강의예요.

콩수학 강의는 수능을 위한 중요개념 기출문제풀이로 구성되어 있어요.


통계적 추정은 다음과 같이 3강으로 나뉘어 있구요. 
 1) 정규분포와 표준정규분포
 2) 모집단과 표본평균
 3) 신뢰구간


이번 2강에서는  모집단과 표본평균 에 대해서 알아볼께요.

생각외로 표본평균에 대해 헷갈려하는 학생들이 많은것 같은데요. ​

특히, 이 단원에서는 집단이라는 개념이 상당히 중요해요.

집단이 이해가 되느냐, 안되느냐가 이 단원의 핵심이라고 볼 수 있을 정도예요.

사실 이해만 된다면 생각보다 훨씬! 간단하게 문제를 풀수있는 단원이기도 해요.  

역시 개념만 보면 "이걸로 어떻게 문제를 푼다는거지?" 하고 생각될수 있겠지만,

얼마나 간단하게 문제가 풀리는지는 아래에서 기출문제 풀 때 보여드릴께요.




개념 정리 - [모집단과 표본집단]



앞선 1강에서는 정규분포의 뜻과 넓이구하는 방법에 대해 살펴보았는데요.

정규분포라는건 어떤 조사를 해서 나온 결과를 표현한거였어요.

그런데 어떤 분포를 얻으면, 그 안에는 "하나하나의 구성성분"과  "평균"이라는 두가지 개념이 존재해요.

우선 이 개념부터 천천히 짚고 넘어갈께요.

♤정규분포와 구성성분♤

아래 그림을 보세요.

이 그림은 정규분포의 그림이이예요.

조사대상은 사람일수도 있고, 물건일수도 있어요.

만약 키에 대해 조사를 했다면,

같은키에 해당하는 사람들을 순서대로 쭉 나열시켜서 저런 모양이 되었을꺼예요.

물론 저때의 높이는 진짜 인원수가 아니라, 인원수에 비례한 값이예요. 

하지만 어쨌건 사람수에 비례하니까, 저렇게 사람들을 쌓아놨다고 간주해도 무방할꺼예요.

그런데 말이예요.

만약 조사대상안에 "나자신"이 포함되어 있다면 어떨까요?

아마도 아래 그림처럼 저 사람들 무더기 속 어딘가에 내가 포함되어 있을꺼예요..

 

 

즉, "나"는 이 정규분포의 한 "구성성분" 이 되는거예요.

여기서 "나"라는건 여러종류가 가능해요.

단순히 전국민 중 한명일수도 있고,

어떤 사람들의 대표일수도 있고,

또는 내가 가지고 있는 어떤 수치일수도 있어요.

그런데 착각하기 쉬운게 있어요.

과연 저 정규분포에서 내가 어디에 있는지 정확히 알 수 있을까요?

아니예요.

만약 저 정규분포도 딱 나와있고, 내가 어디에 있는지도 딱 알고있다면 더이상 할 게 없어요.

따라서 그런 문제는 낼수가 없어요.

따라서 문제는 항상 "나는 어디에 있을까?"를 예측하는 형태가 되는거예요.​

​또한 모든 문제는 "내가 포함된 분포가 정규분포를 이룬다면"​ 이라는 전제가 깔려요.

왜냐구요?

배운게 정규분포밖에 없으니까요.

즉, 내가 정규분포의 한 구성성분이라면, 과연 내가 어디에 있을지 확률을 구하는게 이 단원의 전체적인 줄거리라고 보시면 되요.

분포에서 구성성분 하나하나를 변수라고 부르고 X라고 써요.  

그리고 정규분포의 가운데 초록색 선은 평균을 뜻해요. 

변수가 있고, 그 변수들의 평균이 170 이 된거예요.

이때 평균은 ()라는 기호로 표시되요.

변수가 X면, 평균을​ 라고 쓰는거예요.

"X바" 라고 읽어요. X들의 평균이라는 뜻이예요. ​

 

평균은 주어진 정규분포의 대표값​ 역할을 해요.

내 위치와 평균의 위치,

이렇게 두가지가 어떤 분포에서 가장 중요한 두가지가 되는거예요.



​♤모집단, 표본집단, 표본평균집단♤


"내 위치를 알려면, 내가 포함된 집단을 ​먼저 찾아야 한다"

이걸 꼭 기억하세요.

앞서 "나"는 여러가지가 될 수 있다고 했어요.

내가 학생이면, 학생의 집단이 필요해요.

내가 대표면, 대표의 집단이 필요해요.

내가 어떤 답이라면, 답들이 모인 집단이 필요한거예요.

그런데 통계적 추정에서는 집단이 세종류가 나와요.

​모집단, 표본집단, 표본평균집단, 이렇게 세종류예요.

​이 집단을 구분해야 문제를 풀수가 있어요.

복잡할수도 있겠지만, 하나하나 예를 통해서 집단을 나누어 볼꺼예요.


♤모집단♤

1강과 마찬가지로 우리나라 20살 남자의 전국 평균 키를 조사할거예요.

그런데 우리나라에 20살 남자는 대략 80만명정도 되요.

따라서 이 사람들을 몽땅 다 조사하긴 어려워요.


하지만 이런 가정은 할 수 있어요.

만약 다 조사했다면!


전체를 다 조사했을때의 결과를 그린게 모집단이예요.

물론 정규분포로 나와요.


이 그림이 첫번째 집단인 모집단의 그림이예요.

모집단에는 한명한명이 모두 포함되어 있어요.

따라서 여기서의 나는 80만명 중 한명일때의 나를 뜻해요.

즉,​

80만명 중 한명을 물어본다면, 그때 이 모집단이 필요한거예요.​


이 집단의 평균을 모평균, 표준편차를 모표준편차라고 불러요.

여기서 모평균은 진짜로 전체평균이예요. 예측한값이 아니라는 거예요.

하지만 이 집단은 보통 상상속에만 있어요.

문제에서는 때때로 이 전체집단을 주기도 하지만, 실제로는 구하기 힘들어요.

전체를 조사해서 평균을 구할수 있다면 추정이라는걸 할 필요가 없잖아요.

문제에서 모집단을 가르쳐주면 그렇구나~ 하고 쓰면 되고,

안가르쳐주면 "이런 모집단이 있다면"하고 쓰면 되요.

이걸 구하지 못하니까 다른 방법을 쓰고 추정을 하는거예요.

모평균의 추정은 3강에서 정리해볼께요.

 

♤표본집단♤


두번째 집단은 표본집단이예요.

모집단을 다 조사할순 없으니 적당히 뽑아서 조사해볼꺼예요.​

예를들어 어떤 대학교에 가서 20대 남자 100명을  뽑아요.

그 100명을 표본이라고 불러요.

이 그림이 표본집단의 정규분포예요.​

모집단에서 100명을 뽑아 그린 분포예요.

모집단보다 구성원 수가 훨씬 적지만 정규분포인건 똑같아요.


"표본집단이 정규분포가 아니면 어떡하죠?" 하면 안되요. 그럼 시험에 낼수가 없어요.

이 집단에서의 나는 표본 100명 중 한명이예요.

따라서

표본 중 한명을 물어본다면, 그때 표본집단이 필요해요. ​

(하지만 표본 중 한명을 물어보는건 흔치 않아요.​)


표본집단에서 기억할 특징은 세가지예요.

첫째. 표본 100명에서 100을 표본크기라고 불러요. 표본크기는 기호로 n을 써요. ​

표본크기는 세번째 집단인 표본평균집단의 표준편차를 구할때 사용하기 때문에 중요해요.

둘째. 이 표본에서 구한 평균을 "표본평균" 이라고 불러요.

여기서는 174라고 썼는데, 이 값은 조사할때마다 바뀔수 있는 값이예요.

내가 100명 조사해서 나온 평균이니까 뒤에서 "내 표본평균"이라고 더 구별해 드릴께요.

사실 발음이 어려워서 저는 종종 "내평균"이라고도 표현하는데요.

아마 3강에서는 "내평균"이라는 표현도 많이 쓸꺼예요.

표본평균 = 내 표본평균 = 내평균!!


셋째. 이 표본집단의 표준편차를 표본표준편차라고 불러요.  이 이름은 딱히 중요하지 않아요.

다만, 이건 기억해야해요.

표본표준편차와 모집단의 표준편차는 같다!


왜 같은지를 정확히! 알고 싶으면 통계학을 전공하세요.  물론 알고 싶지 않으시죠?

여기서는 이것만 기억하시면 되요.

둘이 같다.... ​

전체 모집단의 분포나, 내가 뽑은 몇명의 분포나, 그 모양은 똑같아요.

모양이 같으니까 표준편차는 둘이 서로 같아요.

단지 평균이 다른것 뿐이예요. 평균과 모양은 별개예요.

조금 다르게 설명드리자면,​

​모집단의 표준편차는 직접 구할수 없어요.

그걸 알려면 모집단을 다 조사해봐야 해요.

앞서 말했듯이 그걸 할수있으면 추정같은걸 할 필요가 없어요.

다행히도 모집단과 표본집단은 표준편차가 서로 비슷해서, 그냥 같다라고 놓기로 했어요.

그렇게 모표준편차를 구했다고 놓은거예요.

이정도로 넘어가도록 해요.


이제 두개의 집단을 알아봤어요.

모집단은 전체를 나타내는 집단이고, 표본집단은 그중에서 몇명을 뽑아서 나타낸 집단이예요.

그런데 표본집단 자체로는 별로 의미가 없어요.

100명의 평균이 진짜는 아니잖아요?​

따라서 이런 질문을 하게 되요.

내가 구한 평균이 실제 모평균 어떤 관계일까?

그것을 분석하기 위한 집단이 세번째 집단인 표본평균집단이예요.


♤표본평균집단♤


표본평균집단은 누가 직접 구할 수 있는게 아니예요.

앞서 "모집단은 가상의 집단"이라고 했는데, 표본평균집단도 "가상의 예측된" 집단이예요.

이런 가정이예요.

여기 모평균이 170인 모집단이 있어요.

여기서 내가 100명을 뽑아서 평균을 구하면,

내 표본평균이 얼마가 나올지는 모르겠지만, 아마도 170일 확률이 가장 클꺼예요. 

물론 100명의 평균은 171이 나올수도 있고 169가 나올수도 있어요.

하지만 전체평균이 170이라면!!

그렇다면 아무리 100명을 뽑아서 평균을 구해도 170일 확률이 제일 큰거예요.

평균이 171이 나올 확률은 좀 더 작고, 172가 나올 확률은 또 더 작아요. ​

그렇게 실제 평균과 차이가 나면 날수록 그 확률은 더 작아요.

대단하게도 사람들은 표본평균이 나올 확률들을 미리 다 계산해놨어요.

그걸 써놓은게 표본평균집단이예요.

수학적으로 어떻게 막 계산했겠지만 그 과정은 관심이 없어요.


우리가 알아야 할것은,

표본평균집단이 정규분포를 이룬다는 것과,

내가 어떤 100명을 뽑아서 평균을 얻었건간에, 표본평균집단 중 하나를 얻게 된다는 점이예요.

표본평균집단은 나올수 있는 모든 X바를 확률적으로 모아놓은 거예요.


그림을 통해서 설명드릴껀데요.

그전에 공식을 하나 기억해야 해요.

앞서 "모집단과 표본집단의 ​표준편차는 같다"고 설명드렸는데요.

표본평균집단은 표본집단과 표준편차가 같지 않아요. ​

모집단의 표준편차가 σ 라면, 표본평균의 표준편차는 예요.

모집단의 표준편차를 표본크기에 루트씌운값으로 나눠줘야 해요.

​표본이 100명이면 루트100인 10 으로 나눠줘야 해요.

위에서의 σ는 모표준편차이기도 하고, 표본표준편차이기도 해요.

예를들어

표본이 100명이고, 모집단(또는 표본집단)의 표준편차가 5라면,

이렇게 표본평균집단의 표준편차는 0.5가 되는거예요.


이 공식은 2강을 통틀어 유일한 공식이니까 잘 기억해둬야 해요. ​ 

 

위의 그림에서​

왼쪽이 모집단이고, 오른쪽이 표본평균집단이예요.

왼쪽은 한명한명의 키가 모여서 집단을 이룬 "모집단" 이고,

오른쪽은 "n명을 뽑아봤을때 나올수 있는 평균"리 예측해놓은 "표본평균집단" 이예요.

왼쪽의 모집단에서 ​100명을 뽑아서 내 표본평균을 구한다면,

미리 예측해놓은 오른쪽 표본평균집단 중에서 하나가 나오는 거예요.


예를들어 만약 내 표본평균이 174가 나왔다면!

​그 174는 표본평균집단의 변수중 하나인 거예요.

위의 그림처럼 미리 예측해놓은 표본평균들 중에서 하나가 나온거예요.

즉,

이 집단에서의 나는 100개의 표본들을 평균낸 내표본평균 값이예요.

표본평균에 대해 조사해야한다면, 그때 이 표본평균집단을 써야하는거예요.


물론 내 표본평균이 174가 아니라 168이 나올수도 있고, 169가 나올수도 있어요.

어떤수가 나오건 내 표본평균은 표본평균집단에 있는 하나의 구성성분인거예요. 

따라서 표본평균집단을 보면, 내 표본평균을 모두 예측해낼 수 있어요.

예를들어 표본평균집단을 자세히 보면, 

내표본평균이 168이 나올 확률은 174가 나올 확률보다 크다는것을 알수도 있죠.


​높이가 높다는건 그만큼 확률이 크다는 뜻이예요.


이렇게 모집단, 표본집단, 표본평균집단의 3개 집단을 ​모두 알아봤어요.

혹시 표본집단과 표본평균집단을 헷갈릴수도 있는데, 3개를 같이 그려볼께요.


(1) 80만명의 분포를 나타낸 모집단이예요. 80만명 각각이 모여있어요.

(2) 80만명 그중에서 100명을 뽑은 표본집단이예요. 100명이 표본들이 모여있어요. 

표본집단의 표준편차는 모집단의 표준편차와 같아요.


(3) 모든 표본평균을 예측해 놓은 표본평균집단이예요. 내 표본평균을 포함해서 모든 평균들(X바)이 모여있어요.

표준편차가 로 바뀌게 되요.​


이해되시나요?

 


​이제 문제를 풀어볼건데요.

1강에서 말씀드렸듯이,

정규분포 문제는 일단 정규분포 그림을 그리고 시작하는 거예요.

따라서 찾으라는게 어떤 집단의 정규분포인지부터 알아야 해요.

 

전체중에서 어떤 한명을 물어보면 모집단의 정규분포.

표본중에서 어떤 한명을 물어보면 표본집단의 정규분포.(이건 흔치 않아요)

표본평균, 그러니까 내 표본평균에 대해 물어보면 표본평균집단의 정규분포 그림을 그려야 해요.


보통은 세번째 집합인 "표본평균집단의 정규분포"​ 그림이 가장 많이 나올꺼예요.


실제로 문제를 풀면서 어떻게 적용되는건지 살펴볼께요.

혹시라도 정규분포를 모르면 1강을 참고하세요.



[기출문제 풀어보기]

(모든 기출문제의 출처는 한국교육과정평가원 홈페이지 입니다.)

(제시된 번호는 짝수형 기준이예요.)



기출문제는 총 5문제를 풀어볼꺼예요.



첫번째 문제는 2015년 수능 A형 12번 문제예요.





쌀모으기 행사에 참여한 각 학생의 쌀무게를 쟀다고 나왔어요.

이때 각 학생이 기부한 쌀무게 하나하나가 전체집합인 모집합이예요.



따라서 모집단의 정규분포 그림을 그려볼께요.

평균이 1.5, 표준편차가 0.2라고 나와있구요.

이 경우는 모집단을 알게됐으니 표본집단은 필요가 없겠네요.


그 다음으로, [이 중 1명을 선택할때] 라고 물어봤어요.

이 중 1명이라는건 모집단의 구성성분 중 한명을 물어보는거예요.

문제를 계속 읽어보면 [이 학생이 기부한 쌀무게가 1.3~1.8 이하일 확률]을 구하라고 했어요.



따라서 우선 정규분포에 1.3~1.8 구간을 표시했어요.

이 넓이를 구하라는게 문제인 거예요.


넓이를 구하려면 표준정규분포로 바꿔야 해요.


넓이 구하는 과정은 1강에서 자세히 적어놓았어요.

약 넓이 구하는법을 모르시면 1강을 먼저 보시길 바래요.


다시 돌아와서,

1.3은 중앙에서 0.2만큼 떨어져 있어요. 표준편차가 0.2니까 딱 표준편차의 1배만큼 떨어져 있어요.

따라서 1.3은 1로 바꿀꺼예요.

1.8은 중앙에서 0.3만큼 떨어져 있어요. 표준편차의 1.5배만큼 떨어져 있는거예요.

따라서 1.8은 1.5로 바꿀꺼예요.

 

표준정규분포로 바꾼그림이예요.

중앙을 기준으로 왼쪽은 0~1, 오른쪽은 0~1.5의 넓이를 표에서 찾아요.



왼쪽 녹색넓이는 0.3413, 오른쪽 주황넓이는 0.4332,

이 두개를 더하면 0.3413+0.4332=0.7745

답은 0.7745예요.




두번째 문제는 2015년 9월 모의고사 A형 11번 문제예요.



 

[어느지역의 1인 가구 월 식료품 구입비가 정규분포를 따른다]고 했어요.

1인가구 하나하나가 정규분포를 따른다는 뜻이예요.


앞문제와 마찬가지로 이건 모집단을 의미하는 거예요.

1인가구 월 식료품 구입비 하나하나가 모집단의 구성성분이예요.

그리고 모집단의 평균이 45만원, 표준편차가 8만원이라고 나온거예요.


문제를 계속 읽어보면 이 모집단에서 16가구를 뽑아서 표본평균을 구했다고 했어요.

그리고 표본평균이 44만원~47만원 사이일 확률을 구하라고 나왔어요.

표본평균을 분석하려면 "표본평균집단"이 필요해요.


따라서 표본평균을 분석하기 위해 표본평균집단을 그릴꺼예요.

개념설명에서 말한 세번째 집단이 표본평균집단이예요.


표본평균집단은 

모집단과 평균이 같고,

표준편차는 예요.

(√16 표본의 크기에 루트씌운 값이예요.)


따라서 이문제의 표본평균집단은

평균이 모평균과 같은 45이고,

표준편차는 가 되요.




위의 정규분포가 표본평균집단의 분포예요.

(표본평균은 X바 로 표시해요.)

16명의 평균을 구하면 이 집단 어딘가에 있는 값이 하나 나오는거예요.


문제에서는 내 표본평균이 44~47이하일 확률을 구하라고 했어요.

즉, 내 표본평균이 아래의 색칠된 넓이에서 나올 확률을 물어본거예요.

따라서 색칠된 넓이를 구하면 답이 나와요.



넓이를 구하기 위해 표준정규분포로 바꾸면 다음처럼 되구요.

(바꾸는 과정은 이제 생략해도 되겠죠?)



반씩 나눠서 넓이를 구하면 아래와 같아요.


따라서 넓이는 0.1915+0.3413= 0.5328 이고,

답은 0.5328이예요.  





세번째 문제는 2016년 수능 가형 13번 문제예요. 


 


이 문제에서는 모집단을 두개 줬어요.

하나는 인 집단이고, 다른 하나는 인 집단이예요.


따라서 그림도 두개를 그려야 해요.

앞에껀 평균 0, 표준편차 4인 그림이구요. 

변수는 X라고 놓을꺼예요.

또 하나는 평균 3, 표준편차 2인 그림이구요.

변수를 Y라고 놓을꺼예요.




계속 문제를 보면,

위의 X 모집단에서는 9개의 표본을 뽑아서 평균을 X바라고 놓고,

아래의 Y모집단에서는 16개의 표본을 뽑아서 Y바라고 놓는다 했어요.


둘다 표본평균을 분석하라고 했으니까,

X도 표본평균집단, Y도 표본평균집단이 각각 필요해요.

X의 표본평균집단은

표준편차 4를 √9 로 나눈  표준편차예요.

평균은 X의 모집단과 같은 0이예요.

Y의 표본평균집단은

모표준편차 2를 √16 으로 나눈 이 표준편차예요.

평균은 Y의 모집단과 같은 3이예요.


이제 아래 그림과 같은 표본평균집단을 두개 얻었어요. 



문제를 계속 보면

라고 나왔는데요. 

 


이 말은

X에서 1보다 오른쪽 넓이랑, Y에서 a보다 왼쪽 넓이랑 서로 같다는 뜻이예요.


a를 대략 유추해서 그려야 해요.

넓이가 같으려면 a가 중심보다 왼쪽에 있어야해요.



초록색 넓이랑 주황색 넓이가 같게 나와야 하는게 요구사항이예요.


넓이가 같으려면, 표준정규분포로 바꿨을때 같은 x축값이 나와야해요.

초록색 그림에서 1은 표준편차의 3/4 배예요. (간격을 표준편차로 나누면 나와요. )

그러니까 초록색에서 1은 표준정규분포에서 3/4로 바뀌게 되요.


따라서 주황색 그림에서도 a는 3/4로 바뀌어야해요.

그러려면 a와 3의 차이가 표준편차의 3/4배여야 하구요.

표준편차(1/2)의 3/4배는 그냥 서로 곱하면 3/8이 나와요.


따라서 a는 평균값인 3보다 3/8만큼 작아야 해요.

a는 3 - 3/8 = 21/8 이 나와요. 



답은 이예요.



잘 따라오고 계신가요?



 

네번째 문제는 2015년 수능 B형 18번 문제예요.   



앞선 세번째 문제와 거의 같은 상황이예요.


두개의 모집단이 있는데 하나는 X, 하나는 Y를 변수로 가져요.


X는 평균이 50, 표준편차가 8이고

Y는 평균이 75, 표준편차가 σ이라고 나왔어요.


바로 정규분포 두개를 그려야해요.

계속 문제를 읽어보면,


위의 X 모집단에서는 16개를 뽑아서 평균을 X바라고 놓고,

아래 Y 모집단에서는 25개를 뽑아서 평균을 Y바라고 놓으라고 나왔어요.


X바, Y바는 각각의 표본평균이예요.

따라서 이들을 분석하려면 표본평균집단이 필요해요.

X,Y 각각의 표본평균집단을 그려볼꺼구요.

역시나 이때의 표준편차는 모표준편차를 √표본크기 로 나누어 계산해요.


X의 표본평균집단은 평균이 50, 표준편차는 8/√16 이 되요.

Y의 표본평균집단은 평균이 75, 표준편차는 σ/√25 가 되요.

모집단과 따라나오는 표본평균집단을 아래에 그렸어요.


계속 문제를 보면

이라고 나와있어요.


무슨말이냐면요

X 표본평균집단에서 53보다 왼쪽넓이와

Y 표본평균집단에서 69보다 왼쪽넓이를 합치면 1이 된다는 뜻이예요.


그림에 표시를 해보면


여기서 초록색 넓이랑 주황색 넓이의 합이 1인 거예요.

정규분포 전체 넓이가 1이라는걸 생각하면 어떤 상황인지 아시겠나요?



이런식으로 좌우를 바꿔서 하나로 합칠수 있다는 뜻이예요.



이제 넓이를 분석하기 위해 표준정규분포로 두 그림을 바꿔볼꺼예요.

위 그림에서 초록색 53은 표준정규분포에서 1.5로 바뀌어요.

따라서 주황색 69도 표준정규분포에서 1.5로 바뀌어야 되요.

그래야 두 그림이 합쳐서 하나를 만들수 있어요.

표준정규분포는 모든 정규분포를 공통된 기준으로 바꾼거예요.

사실 이 상황에서는 σ 가 얼마인지는 굳이 알 필요도 없어요.

아래의 정규분포에서 69가 1.5로 바뀐다는 사실만 알아도 되요.


혹시라도 궁금하시다면

주황색 그림에서 69와 75의 간격인 6과,

표준정규분포에서 1.5로 바뀌기 위한 간격인  가 서로 같다고 놓고 식을 풀면 되요.

σ=20 이 나와요.

문제를 계속 읽어보면 왜 σ를 몰라도 되는지 알게 되요.


문제에는   를 구하라고 나와있어요.



Y에서 71보다 오른쪽 넓이를 구하라는게 최종 질문이예요.

그림으로 그려보면 위의 그림처럼 나와요.

왼쪽은 원래의 Y집단 정규분포의 그림이고, 오른쪽은 표준정규분포로 바뀐 그림이예요.


올리브색 넓이를 구하라는 뜻인데 왼쪽에서 71이 표준정규분포 1로 바뀐다는건,

그냥 간격을 3등분만 해도 쉽게 구할수 있어요.

굳이 시그마를 구하지 않아도 알수있는 거예요.


따라서 이제 마무리 단계까지 왔어요.

저 올리브색의 중심(점선부분)을 기준으로 왼쪽 넓이와 오른쪽 넓이를 더할꺼예요.

오른쪽 넓이는 0.5예요. 정규분포의 반쪽넓이가 0.5인건 기억하고있어야 해요.


왼쪽 넓이는 문제에서 제시된 표를 보고 구할꺼예요.

그림에서 올리브색 넓이는 z=0~1사이의 넓이예요.



따라서 표를보면 올리브색 넓이는 0.3413 이구요.

파란색 넓이가 0.5니까 이 둘을 더하면 답이 되요. 

0.3413 + 0.5 = 0.8413

답은 0.8413이예요.





이제 마지막 문제예요.

다섯번째 문제는 2015년 수능 A형 9번 문제예요.





문제는 간단해요.

모집단이 있는데 표준편차가 14라고 나와있어요.

거기서 n개를 뽑아서 평균을 구했는데 X바 라고 하재요.


 는 "X바" 들의 표준편차예요.

X바는 표본평균을 뜻하구요. 

X바를 모아놓은 집단은 표본평균집단이예요.

즉, 표본평균집단의 표준편차가 2라고 나온거예요.


그림을 그려볼께요.



여기서 오른쪽그림의 표준편차가  가 나왔다.

이렇게 말해주고 있는거예요.


이 식을 계산하면 n이 나와요.






따라서 답은 49가 되요.



이렇게 기출문제 5개까지 모두 풀어봤어요.

문제를 풀때는 주어진 것이 어떤 집단의 성분인지 파악하는게 중요해요.

지금까지 2강에서는 모집단과 표본에 대해 알아봤구요.

3강에서는 통계적 추정의 마지막으로 신뢰구간에 대해 알아볼께요.

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너무친절한 콩수학의 블로그입니다. 수리영역기출과 관련개념을 올려드리고 있어요. 최근 수리영역 업데이트를 못하고 있어 죄송합니다. 갑작스레 약국일을 하게되어 시간이 잘 안나네요ㅠㅠ 가능한 다시 업데이트하도록 하겠습니다.