[확통개념] 통계 - 연속확률분포 / 확률밀도함수 / 확률밀도함수의 확률계산 (알고리즘성남학원)

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2018. 6. 24. 18:56

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[확통개념] 통계 - 연속확률분포 / 확률밀도함수 / 확률밀도함수의 확률계산 (알고리즘성남학원)

흑흑~ 너무 오랜만이야...

안녕하세요

알고리즘 성남학원

가장 쉬운 수학

“ 진카 ” 입니다.

오늘은 통계 2번째 시간!

연속확률분포 가 무엇이고

확률밀도함수 가 무엇인지!

연속확률분포에서

확률은 어떻게 구하는지

대하여 포스팅 하도록 하겠습니다.

1. 연속확률분포가 뭐에요?

우선 이산확률분포를 잠깐만 복습해볼게요.

(이산확률분포 포스팅을 아직 안 보셨다면, 밑의 링크를 클릭클릭!)

http://algosn.blog.me/221288016739

이산의 뜻은 “떨어져 있다~” 라는 뜻이라고 했죠?

예를 들어, 주사위를 던질 때 나올 수 있는 숫자를

확률변수 X라고 하면,

X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

이렇게 떨어져 있는 변수들이 생기죠?

그래서 떨어져 있는 변수들의 확률분포를

이산확률분포라고 했어요.

자! 그럼 본격적으로!

연속확률분포란! 확률변수가

연속하게 쭉~ 이어지는 있는 것 들을 의미해요.

감이 잘 안 오죠? 예를 들어 볼게요!

ex) 대한민국 고등학생의 키를 확률변수 X라고 하자.

저 예시에서 확률변수 X는 떨어져 있는 변수일까요?

“161센치 다음에 162센치니까 떨어져 있지 않나요!?”

no no no ~

161센치와 162센치 사이에는

161.5센치 161.7센치 161.05등등

무수히 많은 키들이 있지 않나요?

이처럼 확률변수가 쭉~ 이어져 있는!

즉, 연속 되어 있어서!

도저히 변수가 너무 많아서! 셀 수가 없는

확률변수를 가진 확률의 분포를

연속확률분포라고 해요!

더 예를 들어 보자면,

몸무게 / 신발사이즈 / 머리길이 등이 있어요~

모두다 연속되어 있는 변수들이예요.

이해되죠? ^^

2. 연속확률분포는 어떻게 표현하죠? 확률밀도함수는 뭐죠? 확률은 어떻게 구하죠?

이산확률분포의 경우에는

표를 만들어서 확률변수와 확률을 표현했어요.

근데, 연속확률분포의 경우는

변수가 연속되어 있어서 무수히 많죠~

그래서 표를 그려서 만드려면 칸을 무수히 만들어야 해요.

그건 해서는 안될 짓이죠.... ㅋㅋ

그래서 연속확률분포는 어떻게 표현하느냐!

바로 함수로 표현합니다!

그리고 연속확률분포를 표현한 함수를

앞으로 ‘ 확률밀도함수 ’ 라고 부를 겁니다!

예를 들어,

ex) A고등학교 여학생들의 키를 확률변수 X라고 하자.

이때, 제일 작은 학생이 140센치 / 제일 큰 학생이 180센치라고 한다.

연속확률변수 X의 분포를 표현하여라.

그러면 예를 들어 이렇게 표현할 수 있습니다!

(정말 여~러 모양의 함수가 가능한데

그 중에 하나를 그려보도록 할게요!)

1) 확률밀도함수에서 확률은 어떻게 구할까요?

☆ 자! 명심할 것! 확률밀도함수에서 확률을 어떻게 구하냐면!

함수와 X축사이의 넓이로 구합니다!

이말 절대 잊지 마세요!

만약 150센치~160센치의 학생들의 비율 즉, 확률을 구하고 싶다면,

확률밀도함수 f(x)와 X축 그리고 X=150 ~ X=160 사이의

넓이를 구하면 됩니다. 이런 식으로!

저 빗금 친 부분이 바로! 150센치~160센치 사이의 비율

즉, 확률을 의미하구요.

예를 들어 넓이가 0.4라고 하면

전체학생의 40%가 150~160 사이의 키를 갖는 것이죠!

유식하게는 이렇게 쓰면 됩니다.

P(150 ≤ X ≤ 160) = 0.4

=> 키라는 변수 X가 150~160일 확률(P)는 0.4 이다.

2) 확률밀도함수에서 시작~끝까지의 확률은 뭘까요?

그럼 여기서 중요한 걸 하나 더 볼게요!

140이라는 키가 시작이고, 180이라는 키가 끝이니

시작부터 끝까지의 비율 즉, 확률은 100%를 의미하는

“ 1 ” 이 됩니다! 이렇게!

유식하게는 이렇게 쓸 수 있겠군요.

P(140 ≤ X ≤ 180) = 1

그러므로 확률밀도함수에서

변수의 시작을 a / 변수의 끝을 b 라고 하면,

P(a ≤ X ≤ b) = 무조건 1 입니다!

잊지 마세요! 너무 중요한 것!

지금까지 설명한 것을 정리 해볼게요.

ⅰ) 연속되어 있는 변수들과 확률의 분포를 연속확률분포라 한다.

ⅱ) 연속확률분포는 확률밀도함수로 표현한다.

ⅲ) 확률밀도함수에서 확률은 함수와 축사이의 넓이로 구한다.

ⅳ) 시작 ~ 끝까지의 넓이 즉, 확률은 무조건 1이다.

지금까지 배운 내용을 바탕으로 문제를 풀어 볼게요.

조금만 더 힘냅시다! 아자!

3. 확률밀도함수 문제를 풀어봅시다.


다음 시간은 통계에서 가장 중요하다고 할 수 있는

정규분포를 포스팅 하도록 하겠습니다.

정규분포 시간에 다시 만나요~~ ^^


오늘의 개념 간단정리

· 연속되어 있는 변수들과 확률의 분포를 연속확률분포라 한다.

· 연속확률분포는 확률밀도함수로 표현한다.

· 확률밀도함수에서 확률은 함수와 축사이의 넓이로 구한다.

넓이가 곧 확률이 된다는 것을 절대 잊지말자!

· 시작되는 변수를 a, 끝이 되는 변수를 b라 하면,

P( a ≤ X ≤ b ) 는 확률전체의 값인 1이 된다.

수학, 누구나 잘 할 수 있습니다.

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