[확률과통계/순열과조합/여러가지순열]
원순열, 중복순열, 같은것이있는순열
개념정리하기!
안녕하세요!
오랜만에 수학 포스팅하네요!
자료찾고나서 그림판이나 포토샵으로 필요한 내용을 자르고 정리를 해야하는데...
제가 느려서 그런가..
시간이 너무 오래걸려요.ㅠㅠ
어쨋거나 오늘은 순열과 조합 파트에서 여러가지순열에 대해서 정리하고자 합니다!
순열은 순서를 생각하고 조합은 순서를 생각하지 않고 경우의수를 구하는 것으로 저번에 포스팅에서 언급을 했습니다.
여러가지 순열에서는 순서를 당연히 생각하지만 중복되는것을 빼야합니다!
어려울수도 있겠지만 잘 따라와 보세요!
최대한 쉽게 설명할수 있도록 노력하겠습니다!
먼저 원순열부터 정리해보겠습니다!
원순열은 쉽게 생각하면 원탁에 둘러 앉아있을때를 생각하면 됩니다.
예를들어 엄마,아빠,나,동생이 둥근 원탁에 앉아있다고 해봅시다.
나를 기준으로 왼쪽엔 아빠, 오른쪽엔 엄마, 앞에는 동생이 앉아있다고 생각을 해보세요!
의자가 번호가 적혀있거나 색깔이 다르지 않고 모두 똑같은 의자라고 생각을 한다면..
앉는 자리가 위치가 다르더라도 나를 기준으로 왼쪽, 오른쪽, 앞에 앉은 가족들이 바뀌지 않죠?
수학에서 원순열은 둥근 원에서 어느 위치에서 보아도 배열이 다르지 않으면 그것을 같은 배열로 간주합니다!
밑에 그림을 보시고 참고하세요!
원순열이란 서로 다른 n개를 일렬로 배열했을때 이것을 원형으로 만들어 배열하게되면 같은것이 n개가 생깁니다.
그래서 n개를 일렬로 배열하는 방법의 수는 n! 이고 이것을 n개로 나누어 주면
(n-1)! 이 되요!
6명이 앉는 원탁에 6명이 앉는 방법의 수는 5!
7명이 앉는 원탁에 7명이 앉는 방법의 수는 6!
원순열을 계산 할때에는 서로다른 n개를 일렬로 세웠을때
한원소를 고정하고 나머지를 일렬로 세우는 것으로 생각해도 됩니다.
시험문제들이 당연히 쉽게 나오진 않겠죠?ㅋ
위의 예제문제를 봅시다.
4개 국가의 정상들이 회담을 합니다!
원형의 탁자에 앉는 방법을 구하고 있네요~
두정상이 마주봐야 한다고 했을때의 문제입니다.
이 경우에는 먼저 두정상을 한개로 생각해서 3개를 원형으로 배열을 합니다.
그럼 (3 - 1)! 이 나오네요.
그리고 나서 두정상을 한개로 생각했으니..
그 두정상이 자리를 바꾸어 앉는 방법의 개수는 2! 가지가 생기므로
2! x 2! = 4 가 됩니다.
이번에는 중복순열입니다.
앞에서 배운 순열은 중복을 허용하지 않았고 이번에는 중복을 허용했을때의 문제풀이 방법입니다.
위에 그림에서 처럼 빨간색, 파란색 깃발이 각각3개씩 있을때,
1,2,3이라고 쓰인 곳에 깃발을 꼽는 방법의 수는
각각 2개씩 꼽을 수 있기 때문에 2 x 2 x 2 = 8 이 됩니다.
즉, 순서를 생각하고 동시에 중복을 허용했을때를 중복순열이라고 합니다.
기호로는 
로 나타내며
가운데 있는 기호를 (파이)라고 읽습니다^^
중복순열을 정리하면, 곱의법칙을 이용하여
n파이r 로 나타내고
n을 r번 곱하면 됩니다!
이런식으로 계산을 하면 됩니다.
순열과 조합의 경우 n과 r을 많이 이용합니다.
순열과 조합에서 중복을 허용하지 않을때엔 n은 r보다 크거나 같아야 하지만
중복을 허용하는 순열과 조합은 r값이 n보다 클수도 있기 때문에 잘 알아두셔야 합니다!
예제 문제를 봅시다.
4명의 학생이 3종류의 차를 주문을 하는 방법의 경우의 수를 구하는 것이군요!
4명이 고를수 있는 방법의 수가 각각 3가지씩 있으므로
3 x 3 x 3 x 3 = 81 가지가 되겠네요!
다음문제를 풀어보겠습니다.
네개의 숫자 1,2,3,4 를 중복을 허용하고 두자리 정수의 개수를 구하는 문제입니다.
십의자리도 4가지 일의자리도 4가지 이므로
4파이2 = 4 x 4 = 16 가지가 됩니다.
그다음문제를 풀어보겠습니다.
5명의 학생이 3가지 색깔의 카드를 가지고 있는데 동시에 한장의 카드를 꺼내는 방법의 수를 구하는 문제입니다.
5명의 학생이 각각 3개씩 선택을 할수 있기 때문에
3파이5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 가지가 되겠네요!
같은것이 있을때의 순열입니다.
설명이 너무 길어서 다 읽고 나면 이해하는데 시간 오래 걸릴거 같아요!ㅋㅋ
쉽게 설명해볼게요~ㅋ
빨간색전구 2개와 파란색전구 3개가 있네요~
5개를 일렬로 놓아야 합니다.
그런데 같은게 2개, 3개 있잖아요.
일단 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수를 5!로 계산을 합니다.
그다음은 빨간색 2개를 자리를 바꾸어 놓아도 똑같은 빨간색이잖아요!
그래서 빨간색 2개를 나열하는 경우의 수를 나누어 줍니다.
파란색도 마찬가지로 자리를 바꾸어 놓아도 똑같은 파란색입니다.
그래서 파란색 역시 3개를 나열하는 경우의 수를 나누어 주는겁니다.
예제문제를 봅시다.
알파벳 a가 3개 b가 4개입니다.
일렬로 나열하는 방법은
총 7개를 나열하는 경우의수 7!
그리고 a가 3개이므로 3! , b가 4개 이므로 4! 을 나누어 줍니다.
다음은 coffee의 6개의 문자에 대한 문제네요.
먼저 1번문제.
모든 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는
먼저 알파벳이 총 6개이므로 6!
그리고 f가 2개, e가 2개이므로
6! / 2! 2! 로 계산을 하면 되겠네요.
그래서 답은 180가지입니다.
2번문제는 e가 양끝에 오도록 일렬로 나열하는 방법이 수 입니다.
먼저 e를 양끝으로 고정을 시킵니다.
그럼 남은 알파벳은 coff 이네요.
coff만 가운데에 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하면 되겠네요.
즉, 4! / 2! 로 계산을 하면 답은 12가지입니다.
내신 시험에서 한문제는 꼭 나오는 문제에요!
최단거리 구하는 방법의 경우의 수를 구하는 것입니다.
A에서 B까지 최단거리로 가려면 오른쪽으로 가거나 위로만 가야해요!
그래서 오른쪽으로 가는 것을 a로, 위로 가는 것을 b로 놓습니다.
최단거리로 가는 방법은 5번만에 가는게 최단거리네요!
그리고 오른쪽으로 가는 길이 3개, 위로 가는길이 2개입니다.
계산 하면 5! / 3! 2! 이네요
그래서 답은 10가지가 나옵니다.
드디어 여러가지 순열에서 기본개념문제 정리가 끝났네요.ㅋ
더 자세히 쉽게 설명하려고 했는데 글로 쓰기엔 아무래도 한계가 있네요.ㅠㅠ
말로 설명하면 훨~~~씬 쉬울텐데 말이죠.ㅋㅋ
어쨋거나 다들 공부 열심히 하시고 좋은 성정 거두길 기대합니다.
수능이 얼마 안남았네요!
고3여러분들도 힘내시고 화이팅 하세요!
